孩子两个月大时离婚，根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，孩子的抚养权一般判给母亲。具体规定如下：
一般由母亲直接抚养，但父母双方协议将不满两周岁子女交由父亲直接抚养，并对子女健康成长无不利影响的，人民法院也是予以支持的。
如果父母双方对抚养问题协议不成，由人民法院根据双方的具体情况，按照最有利于未成年子女的原则判决。
在决定抚养权的归属时，应当尊重其真实意愿。
具体情况分析
母亲直接抚养：通常情况下，不满两周岁的子女会判给母亲直接抚养，因为母亲是孩子的首要抚养人，且孩子尚处于哺乳期，需要母亲的照顾。
父亲抚养的可能性：在以下情况下，父亲可能会获得抚养权：
母亲患有久治不愈的传染性疾病或其他严重疾病，子女不宜与其共同生活；
母亲有抚养条件不尽抚养义务，而父亲要求子女随其生活；
因其他原因，子女确无法随母方生活；
父母双方协议两周岁以下子女随父方生活，并对子女健康成长无不利影响。
建议
协议离婚：如果双方能够达成协议，可以协商确定孩子的抚养权归属，并签订离婚协议。
诉讼离婚：如果双方无法达成协议，可以通过法院诉讼解决抚养权问题。在诉讼过程中，法院会根据孩子的最佳利益原则进行判决，并综合考虑双方的具体情况。
总之，孩子两个月大时离婚，抚养权一般判给母亲，但具体判决还需根据双方的具体情况和法院的审理结果。建议父母在离婚过程中，尽量通过协商解决问题，以减少对孩子的伤害。
